К доказательству теоремы Ферма – начало.

Однажды размышляя о природе популярных чисел 3 и 7, я обратил внимание на особенность человеческого мозга воспринимать как аксиому лишь только те умозаключения, которые получаются в результате взаимодействия только двух величин между собой. Если величин больше, то результат из взаимодействия между собой для нас непосредственно не очевиден и не является аксиомой, а требует доказательства.

Это натолкнуло меня на мысль попробовать рассмотреть теорему Ферма не в десятеричной системе исчисления, а в двоичной, т.е. максимально возможно упростить непосредственное восприятие результата.

Доказательством занимался еще со школы, в 1992 году изложил все это на бумаге, планировал продолжить, но обстоятельства сложились так, что год назад я прочел в СМИ о уже существующем доказательстве, но очень сложном и объемном. Поэтому посчитал возможным, прошу извинить за не строгость и неполноту изложения (уверен профессионалы поймут меня), представить на Ваш суд свой вариант доказательства.

 

 

 

В общем виде теорема звучит так:  Xn + Yn = Zn  ,

где  n > 2;                

X,   Y,  Z  - целые числа

(утверждается, что нет таких чисел, удовлетворяющих равенству).

Доказательство осуществляется в двоичной системе.

Разобьем предложенное равенство на 4 ряда:

  1. Нч + Нч  = Чч
  2. Нн + Нн  = Чн
  3. Чн + Нн  = Нн          или   Нн – Нн  = Чн
  4. Чч + Нч  = Нч                Нч – Нч  = Чч

где  Н – нечетное;  Ч – четное.

Данное доказательство заключается в том, что нам будет достаточно рассмотреть комбинацию символов (1 или 0) с точностью до трех-четырех последних символов числа представленного в двоичной системе.

Таким образом, очевидно, что четное число в двоичной системе всегда заканчивается на символ «0», не четное на символ «1».

Нечетное число в двоичной системе  будет выглядеть так:

Н = .0 + 1

Точка перед символом «0» означает, что символы слева от нее мы не рассматриваем.

Рассмотрим ряд № 1.

Имеем (пусть n = Ч – четное)   Нч + Нч  = Чч    

(.0 +1)ч + (.0 + 1)ч  = .0ч

Разложим многочлены стоящие в левой части равенства по Бином Ньютону:

 

 

 

 

 

 

Сложим два ряда между собой:

 

 ….. 

 

Имеем

 

……

 

Проанализируем полученные слагаемые:

1-е = 10

2-е = .00 (слагаемое всегда будет заканчиваться на 2-ва «0»)

3-е = .00 (заканчивается на 2-ва «0»)

4-е = .000 (заканчивается на 3-ри «0»)

5-е = .0000 и т.д.

из анализа полученных слагаемых мы видим, что число стоящее в левой части равенства всегда будет заканчиваться на символы «.10»;

А при n > 2   четное число, стоящее в правой части равенства в двоичной системе  как минимум всегда будет заканчиваться на символ «.000» (Ч3 = (.0)3 = .000), а из этого следует, что равенство    Нч + Нч = Чч  

в целых числах не возможно (.10 ¹ .000)

Таким образом № 1 Нч + Нч ¹ Чч  - доказано.

 

Теперь рассмотрим ряд № 2.

 Нн + Нн  = Чн

Для доказательства этого ряда потребовалось разбить все нечетные числа на два ряда:

любое нечетное число можно представить в виде

Nn  =  3 + 4(а – 1)             3, 7, 11, 15, 19, 23 и…

Nn  =  5 + 4(в – 1)             5, 9, 13, 17, 21, 25 и…

Таким образом, мы охватываем все нечетные числа.

Предположим, что в левой части уравнения стоит два слагаемых, представленных в виде  3 + 4(а – 1)

(4(а – 1) + 3)н + (4(а’ – 1) + 3)н = 4н

 а и а' говорят лишь о том, что они различны (это любые числа из натурального ряда).

Воспользуемся Бином Ньютона и получим:

 

Сложим два многочлена в левой части равенства между собой, получим:

 

 

В двоичной системе                                              31 = 11                                                   

                                                                                32 = 1001                                                            

                                                                                33 = .1011                                              

                                                                                34 = .0001            =>

                                                                                35 = .0011                                              

                                                                                37 = .1011                                              

                                                                             и т.д.

В двоичной системе число «3» в нечетной степени всегда будет заканчиваться на символы «.1011» или «.0011».

Рассмотрим все возможные комбинации символов между собой:

Если .0011 + 001 = .0110

Если .1011 + .1011 = .1110

Проанализируем полученные слагаемые

1-е слагаемое = «.10» (всегда будет заканчиваться этим количеством знаков)

2-е слагаемое = «.00»,Н х 3Н-1 х 4(а – 1) + (а’ – 1) = Н х 3Н-1 х 100(а + а’– 2) = .00

3-е слагаемое = «.0000»

4-е слагаемое = «.000000»

таким образом и в этом ряде обратно слева мы получаем число заканчивающееся на символы «.10», а справа, как мы говорили ранее, ЧН заканчивается на символы «.000»

Таким образом   (3 + 4(а – 1))Н + (3 + 4(а’ – 1))Н  ≠ ЧН  - доказано.                        

 

 

Рассмотрим числа из ряда  5 + 4(в –1). По аналогии с вышеизложенным имеем:

51 = .101              

53 = .1101            

55 = .0101

57 = .1101

59 = .0101

и т.д.

Рассмотрим все возможные комбинации символов между собой:

Если .1101 +.1101 = .10

Если .0101 + .0101 = .10

Таким образом обратно мы видим, что в левой части равенства будет получаться число всегда заканчивающиеся на символы «.10», справа – «.000».

 

(5 + 4(в – 1))Н + (5 + 4(в’ – 1))Н  ≠ ЧН  - доказано.

 

Когда я пытался рассмотреть вариант равенства вида:

(3 + 4(а – 1))Н + (5 +(в – 1))Н = ЧН

мне пришлось разбить на два подряда вида:

(5+8(в-1))Н + (3+4(а-1))Н = ЧН – доказательство осталось пока под вопросом

(9+8(с-1))Н + (3+4(а-1))Н ≠ ЧН – этот ряд по аналогии с вышеизложенным доказан.

 

Рассмотрим теперь ряд № 3

  Чн + Нн  = Нн     

Его можно записать, как   

 Нн - Нн  =   Чн   (причем Н-первое > Н-второго)

И возьмем числа вида

(4(в – 1) + 5)Н – (4(а – 1) + 3)Н = ЧН

Разложим по Бином Ньютону:

сложим два многочлена между собой и проанализируем слагаемые:

53 = .1101                                                   33 = .1011

55 = .0101                                                   35 = .0011

57 = .1101                                                   37 = .1011

и т.д.                                                           и т.д.

Рассмотрим все возможные комбинации символов между собой:

Если .1101 - .1011 = .010

Если .0101 - .0011 = .010

1-е слагаемое = «.10»,  5н – 3Н =.10

2-е слагаемое = «.00», 4 х Н х [(в – 1)5 н-1 – (а – 1)3 н-1]=.00

3-е слагаемое =  «.0000», =.0000

4-е слагаемое = «.00000»

и т.д.

Таким образом обратно мы видим, что в левой части равенства будет получаться число всегда заканчивающиеся на символы «.10», справа – «.000».

Имеем:          (4(в – 1) + 5)н – (4(а – 1) + 3)н ≠ ЧН  - доказано.

                       (4(а – 1) + 3)н  - (4(в – 1) +5)н ≠ ЧН  - доказано.

Как я уже и говорил, доказательство не полное и в окончательном виде я его увидел разбитым на 12 рядов, 7 из которых плюс один подряд  мне, на мой взгляд, удалось доказать. Ниже привожу 12 рядов.

  1. (3+4(а-1))Ч + (3+4(а’ – 1))Ч ≠ ЧЧ
  2. (5+4(в-1))Ч + (5+4(в‘-1))Ч≠ ЧЧ
  3. (5+4(в-1))Ч + (3+4(а-1))Ч ≠ ЧЧ
  4. (3+4(а-1))Н + (3+4(а’ – 1))Н ≠ ЧН
  5. (5+4(в-1))Н + (5+4(в‘-1))Н≠ ЧН              
  6. (5+4(в-1))Н + (3+4(а-1))Н =>          (9+8(с-1))Н + (3+4(а-1))Н ≠  ?        (5+8(в-1))Н + (3+4(а-1))Н ≠ ЧН
  7.  (5+4(в-1))Н -  (3+4(а-1))Н ≠ ЧН           
  8. (3+4(а-1))Н  - (5+4(в-1))Н ≠ ЧН
  9. (5+4(в-1))Ч - (3+4(а-1))Ч = ?
  10. (3+4(а-1))Ч  - (5+4(в-1))Ч = ?
  11. (5+4(в-1))Ч - (5+4(в’-1))Ч = ?
  12. (3+4(а-1))Ч  -  (3+4(а’-1))Ч  = ?

где а, а‘, в, в‘ – любые числа из натурального ряда.

 

Используются технологии uCoz